混凝土偏压构件设计中的“钻石区”之二，Nu-Mu相关关系曲线

上次讲到(混凝土偏压构件设计中的“钻石区”之一最小相对界限偏心距),对于给定的截面尺寸和材料强度，界限相对偏心距 𝑒_ib∕ℎ₀随配筋𝐴_s和𝐴’_s的减小而减小。当𝐴_s和𝐴’_s分别按最小配筋率取值时，可得 𝑒_ib∕ℎ₀ 的最小值。当给定的内力对(M，N)能使截面发生界限破坏但要求截面配置多于最小配筋率的钢筋面积时，则所得的𝑒_ib∕ℎ₀必然大于该种材料的最小相对界限偏心距。这样如果内力对儿(M，N)形成的𝑒_iℎ₀时，则只可能发生小偏压破坏，按小偏压设计。此即为最小相对界限偏心距的名称由来。

对于给定截面、配筋及材料强度的偏心受压构件，当到达承载能力极限状态时，截面承受的内力设计值 N_u和M_u 并非独立，而是相关的，轴力和弯矩对于构件的作用效应存在叠加和制约的关系。

对于大偏心受压构件，其破坏始于受拉侧钢筋的受拉屈服，则施加轴向压力可延缓其屈服，即轴向压力对大偏压构件起有利作用；而对于小偏心受压构件，其破坏始于受压侧混凝土，则轴向压力对其承载力起不利作用。N_u–M_u相关曲线可通过短柱的试验或截面的数值分析获得，也可近似通过计算公式得到。我们先采用对称配筋的矩形截面来探讨N_u–M_u相关曲线的特点。

一、对于对称配筋的大偏心受压构件，存在：

对截面中心取矩，可得：

则M_u为相对受压高度ξ的函数，对ξ求导并使等于0，可获得M_u在某个ξ 处获得极值。

推导得出下式，当然 ξ 需满足不大于相对界限受压区高度，以满足大偏心受压破坏的先决条件。

其物理关系如图1（a）所示。也就是当竖向压力N_u 0.5α₁f_cbh时，N_u增大，则M_u增大。由于要满足 _b，对于混凝土C50，_b,400级=0.518； _b,500级=0.482。基本可得出=_b,时，即N_u α₁f_cb_bh₀时，M_u最大。可得到图1（b）、（c）,忽略掉了ξ >ξ_b的部分。

（a）（b）（c）

图1 M_u关于 ξ 的极值响应

当受压区高度较小时，

，于

时发生。对受压侧钢筋取矩（图2），可得下式：

则弯矩M_u与压力N_u的关系如下：

可以看出，弯矩与竖向力成正相关关系，其所表达的区域见图3所示。

图2 受压较小时受力图示图3 受压区较小时的N_u–M_u曲线

二、对于对称配筋小偏心受压构件，存在：

可以得出：

该式反映了小偏心受压时，弯矩与竖向压力的负相关关系，即对于给定截面，达到承载能力极限状态时，如果弯矩变大，则只能减小竖向力，如图4所示。将大偏压、小偏压两种破坏状态的N_u–M_u曲线绘制在一个坐标系，并做坐标转置，可获得图5所示的N_u–M_u相关关系曲线。图5内侧为每边最小配筋率时对应的曲线，外侧曲线为每侧最大配筋率时对应的曲线（可按单侧配筋率2.5%）。从原点到界限破坏点B的连线，即是对应最小配筋率发生界限破坏时，该截面的最小偏心距。该射线的余切M_u/N_uh₀。