失稳和屈曲概念辨析

所谓失稳（instability），就是失去稳定平衡状态。结构失稳是指结构在外力增加到某一量值时，稳定的平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象。

广泛被接受的观点是：失稳是结构由稳定平衡向不稳定平衡转移。

稳定问题要求找出外部作用与内部抵抗力之间的不平衡状态，即变形开始急剧增长的状态，因此是一个变形问题。从结构受力上分析，稳定问题是结构从一个平衡状态出发，在不断增加的外部荷载下的变形，而结构刚度也随之不断变化，当外部荷载产生的应力使结构刚度矩阵趋于奇异时，结构承载能力就达到了极限，稳定性平衡状态开始丧失。

Lyapunov对稳定的平衡理解可以归纳为：如果在运动中，给系统施加一个以初始位移和速度表示的平衡干扰，该干扰应该满足足够小这一条件，如果系统的局部位移和速度的微小变化保持不变，即为稳定平衡。

钱若军把失稳定义成一种转移：把结构失稳前后定义成两种状态，结构失稳前为第一种状态(基本平衡状态或者前屈曲状态)，结构在失稳后成为第二种状态(后屈曲状态)，从理论上讲，一旦结构处于稳定的状态，无论是第一状态，还是第二状态，其应力、应变以及变位关系就是一一对应的，区别在于第一种状态是基于初始的几何、材料以及荷载条件，而第二种状态由于经过失稳的状态转移，它应该基于临界点处的几何、材料以及荷载条件。总之：目前非线性稳定理论的基础就是平衡状态在任意微小的扰动下向临近的平衡状态转移过程中的能量变化规律。

静力结构失稳可以分为两类，第一类稳定（又称为欧拉稳定，特征值稳定，分支点失稳），第二类稳定（极值点失稳）。

第一类稳定，分支点失稳问题（bifurcation instability），即达到临界荷载时，除结构原来的平衡状态外，理论上仍然可能出现第二个平衡状态，例如轴心受压的直杆。

数学上说，微分方程在特征值附近，出现不稳定的现象。欧拉失稳是一种数学上的失稳，它不考虑受力过程中材料特性的变化。

从力学上说，结构的刚度由两部分构成，我们把这两个刚度矩阵称为材料的刚度矩阵和几何刚度矩阵。材料刚度矩阵体现结构的材料特性，是结构本身的特征，当不考虑材料非线性影响时，材料刚度矩阵在受力过程中是个常量。而几何刚度特性是与结构受力有关的一个量，同时也反映结构的几何特征。在结构分析中，计入几何刚度矩阵，就是考虑了几何非线性的影响。在压力作用下，几何刚度矩阵会抵消材料刚度矩阵，当压力足够大时，两者相加组成的刚度矩阵就出现了奇异现象，此时结构就是出现了特征值失稳。

第二类稳定，极值点失稳问题（extreme point instability），即结构保持一个平衡状态，随着荷载的增加，在应力比较大的区域出现塑性变形，当荷载达到一定数值时，即使不再增加，甚至有时减少荷载，结构变形也自行迅速的增大而导致使结构破坏，所以第二类稳定问题被称为丧失承载能力的失稳。

从力学分析角度看，分析结构第二类稳定问题，就是通过不断求解计入几何非线性和材料非线性的结构平衡方程，寻求结构极限荷载的过程。由于考虑了两种非线性效应，因此材料刚度矩阵和几何矩阵都在变化，当两者相加组成的刚度矩阵出现了奇异现象，这时候结构就发生了极值点失稳。

材料力学课本中介绍的是第一类稳定，即欧拉稳定。而实际结构中，通常第二类稳定的临界荷载会小于欧拉稳定的临界荷载，故实际结构中是第二类稳定起控制作用。

所谓屈曲（buckling），是指在微小的干扰下杆件发生的变形。从能量角度讲，结构的屈曲就是指伴随着能量的释放，结构由高位能平衡状态向稳定的平衡状态转移的过程。

L.Euler从一端固支另一端自由的受压理想柱出发，给出了压杆的临界载荷。所谓理想柱，是指起初完全平直而且承受中心压力的受压杆。设此柱是完全弹性的，且应力不超过比例极限，若轴向外载荷P小于它的临界值，此杆将保持直的状态而只承受轴向压缩。如果一个扰动(如—横向力)作用于杆，使其有一小的挠曲，在这一扰动除去后。挠度就消失，杆又恢复到平衡状态，此时杆的直的形式的弹性平衡是稳定的。若轴向外载荷P大于它的临界值，柱的直的平衡状态变为不稳定，即任意扰动产生的挠曲在扰动除去后不仅不消失，而且还将继续扩大，直至达到远离直立状态的新的平衡位置为止，或者弯折。此时，称此压杆失稳或屈曲(欧拉屈曲)。

特征值的数学涵义：一个向量（或函数）被矩阵相乘，表示对这个向量做了一个线性变换。如果变换后还是这个向量本身乘以一个常数，这个常数就叫特征值。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。特征值屈曲分析不仅仅可以提供屈曲模态供引入初始缺陷，其得到的临界屈曲载荷还是有一定的意义：带有初始缺陷的临界屈曲载荷值实际上比这个值要低。

结构的静力平衡方程如下：

[K]:结构的弹性刚度矩阵

[K_G]:结构的几何刚度矩阵

{U}:结构的位移

{P}:作用在结构上的荷载。

将几何刚度矩阵用临界荷载系数与使用初始荷载计算的几何刚度矩阵的乘积表示，则有：

令等效刚度

平衡方程失稳的条件就是上式存在奇异解，即等效刚度矩阵的行列式的值为零。特征值屈曲分析，也叫线性屈曲分析，就是解下式的特征值，屈曲分析中的特征值就是临界荷载系数：

式中，λ为特征值（临界荷载系数）。

临界荷载 = 初始荷载x 临界荷载系数。